亚纯函数

亚纯函数meromorphic function　　在区域D上有定义，且除去极点之外处处解析的函数。比如有理函数就是在扩充复平面上的亚纯函数，它是两个多项式的商Image:亚纯函数 １.jpg，而Q（z）的零点是R（z）的极点，即R（z）有有限多个极点，∞点是R（z）的极点或可去奇点。复平面上不是有理函数的亚纯函数称为超越亚纯函数。例如ctgz就是超越亚纯函数，它以kπ为全部极点，超越亚纯函数一定有无限多个极点。有理函数可以分为部分分式，即Image:亚纯函数 ２.jpg，其中｛ak｝是R( z )的全部极点 ，Pk( u )是多项式 ， 当∞点是l0阶极点时，P0(z)是l0阶多项式 。 复平面上的超越亚纯函数也有一个部分分式分解定理 ， f(z)是以｛ak｝为极点集的超越亚纯函数，设f(z)在极点ak处罗朗展式的主部为Image:亚纯函数 ３.jpg，Pk(u)是一个多项式，于是f(z)可表作：Image:亚纯函数４.jpg，其中g(z)是整函数 ，hk(z)是适当选取的多项式。 对于超越亚纯函数有一个类似毕卡定理的结果 ：f(z)是超越亚纯函数，则最多除去两个例外值外 ，对所有其他值W， f(z)－W一定有无穷多个零点。
在复分析中，一个复平面的开子集D上的亚纯函数是一个在D上除一个孤立点集合之外的区域全纯的函数，那些孤立点称为该函数的极点。这样的函数有时称为正则函数或者在D上正则。
每个D上的亚纯函数可以表达为两个全纯函数的比（其分母不恒为0）：极点也就是分母的零点。
Image:Gamma abs.png
Γ函数在整个复平面上亚纯
直观的讲，一个亚纯函数是两个性质很好的（全纯）函数的比。这样的函数本身性质也很“好”，除了分式的分母为零的点，那时函数的值为无穷。
从代数的观点来看，如果D是一个连通集，则亚纯函数的集合是全纯函数的整域的分式域。这和有理数$\backslash mathbb\{Q\}$和整数$\backslash mathbb\{Z\}$的关系类似。
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参考
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补充
亚纯函数
亚纯函数（meromorphic function）在区域D上有定义，且除去极点之外处处解析的函数。比如有理函数就是在扩充复平面上的亚纯函数，它是两个多项式的商而Q（z）的零点是R（z）的极点，即R（z）有有限多个极点，∞点是R（z）的极点或可去奇点。复平面上不是有理函数的亚纯函数称为超越亚纯函数。例如ctgz就是超越亚纯函数，它以kπ为全部极点，超越亚纯函数一定有无限多个极点。有理函数可以分为部分分式，即其中｛ak｝是R( z )的全部极点 ，Pk( u )是多项式 ， 当∞点是l0阶极点时，P0(z)是l0阶多项式 。 复平面上的超越亚纯函数也有一个部分分式分解定理 ， f(z)是以｛ak｝为极点集的超越亚纯函数，设f(z)在极点ak处罗朗展式的主部为，Pk(u)是一个多项式，于是f(z)可表作：中g(z)是整函数 ，hk(z)是适当选取的多项式。 对于超越亚纯函数有一个类似毕卡定理的结果 ：f(z)是超越亚纯函数，则最多除去两个例外值外 ，对所有其他值W， f(z)－W一定有无穷多个零点。
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在复分析中，一个复平面的开子集D上的亚纯函数是一个在D上除一个孤立点集合之外的区域全纯的函数，那些孤立点称为该函数的极点。这样的函数有时称为正则函数或者在D上正则。
每个D上的亚纯函数可以表达为两个全纯函数的比（其分母不恒为0）：极点也就是分母的零点。
Image:Gamma abs.png
Γ函数在整个复平面上亚纯直观的讲，一个亚纯函数是两个性质很好的（全纯）函数的比。这样的函数本身性质也很“好”，除了分式的分母为零的点，那时函数的值为无穷。
从代数的观点来看，如果D是一个连通集，则亚纯函数的集合是全纯函数的整域的分式域。
取自"http://www.wiki.cn/wiki/%E4%BA%9A%E7%BA%AF%E5%87%BD%E6%95%B0"
分类: 复分析

全纯函数

全纯函数(Holomorphic functions)是复分析研究的中心对象；它们是定义在复平面C的开子集上的，在C中取值的函数，在每点复可微。这是比实可微强得多的条件，它表示函数无穷可微并可以用它的泰勒级数描述。解析函数(analytic function)一词经常可以和"全纯函数"互相交换使用，虽然前者有几个其他含义。一个在整个复平面上全纯的函数称为整函数(entire function)。"在一点a全纯"不仅表示在a可微,而且表示在某个中心为a的复平面的开邻域可微。双全纯(Biholomorphic)表示一个有全纯逆函数的全纯函数。
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1 定义
2 例子
3 性质
4 几个变量
5 扩展到泛函分析
6 参看
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定义
若U为C的开子集而f : U → C是一个函数，我们称f是在U中一点z0复可微(complex differentiable)，若极限
$f\text{'}(z\_0)\; =\; \backslash lim\_\{z\; \backslash rightarrow\; z\_0\}\; \{f(z)\; -\; f(z\_0)\; \backslash over\; z\; -\; z\_0\; \}$
存在。
极限取所有趋向z0的复数的序列，并对所有这种序列差的商趋向同一个数f '(z0). 直观上，如果f在z0复可微而我们从r方向趋向点z0，则函数的像会从f '(z0) r方向趋近点f(z0)，其中的乘积是复数乘法。
这个可微性的概念和实可微性有几个相同性质: 它是线性的，并服从乘积，商和链式法则。
若f在U中每点z0复可微，我们称f'在U上全纯。我们称f在点z0全纯，如果它在z0的某个邻域全纯。
下面是一个等价的定义。一个复函数全纯当且仅当它满足柯西-黎曼方程.
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例子
z的所有复系数的多项式函数在C上是全纯的.
所有z的三角函数和所有指数函数也是. (三角函数事实上和指数函数密切相关并可以通过欧拉公式来用指数函数定义).
对数函数的主支在集合C - {z ∈ R : z ≤ 0}上全纯. 平方根函数可以定义为
$\backslash sqrt\{z\}\; =\; e^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash ln\; z\}$
所以任何对数ln(z)全纯的地方,它也全纯.函数1/z在{z : z ≠ 0}上全纯.
不是全纯的函数的典型例子有复共轭(complex conjugation)和取实部.
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性质
因为复微分是线性的，并且服从积、商、链式法则，所以全纯函数的和、积和复合是全纯的，而两个全纯函数的商在所有分母非0的地方全纯。
每个全纯函数在每一点无穷可微。它和它自己的泰勒级数相等，而泰勒级数在每个完全位于定义域U内的开圆盘上收敛。泰勒级数也可能在一个更大的圆盘上收敛；例如，对数的泰勒级数在每个不包含0的圆盘上收敛，甚至在复实轴的附近也是如此。证明请参看全纯函数解析。
若把C和R2等同起来，则全纯函数和满足柯西-黎曼方程的双实变量函数相同，该方程组含有两个偏微分方程。
在非0导数的点的附近，全纯函数是共形的(或称保角的)。因为他们保持了小图形的角度和形状(但尺寸可能改变)。
柯西积分公式表明每个全纯函数在圆盘内的值由它在盘边界上的取值所完全决定。
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几个变量
多复变量的复解析函数定义为在一点全纯和解析，如果它局部可以(在一个多盘，也即中心在该点的圆盘的直积)扩张为收敛的各个变量的幂级数。这个条件比柯西-黎曼方程要强；事实上它可以这样表述:
一个多复变量函数是全纯的当且仅当它满足柯西-黎曼方程并且局部平方可积。
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扩展到泛函分析
全纯函数的概念可以扩展到范函分析中的无穷维空间。Fréchet导数条目介绍了巴拿赫空间上的全纯函数的概念。

流形

流形manifold　　一类特殊的连通、豪斯多夫仿紧的拓扑空间。在此空间每一点的邻近预先建立了坐标系，使得任何两个（局部）坐标系间的坐标变换都是连续的。这里所说在一点邻近建立坐标系就是：存在这个点的一个邻域U和一个同胚映射：U→V，其中V是某个欧氏空间R n中的开集。这样的可看成U上n个函数 ，它们就给出U中点的坐标 。在上面流形的定义中 ，若坐标变换皆是连续可微的，则进一步称空间为微分流形 。流形的概念最早是由B.黎曼在1854年提出的。　　流形最重要的特性是：有局部坐标系。这个特性并不奇特，以至流形能广泛地出现在物理、几何问题之中。同时这个特性又使人们可系统地运用坐标方法，从而导致富有成效的研究。因此流形成为数学中一个重要概念。　　对流形的研究还有一套组合方法，H.庞加莱对这种方法的出现起了决定性作用。那是预先假定流形“剖分”成一些单形之和，使各单形之间是规则相处的。从“剖分”出发 ，创造出链群和边缘算子概念，再用有限的代数算法导出同调群，进而开展研究（见同调论）。　　关于流形的重要结果有：斯托克斯公式，示性类，德·拉姆同构，对偶定理。
流形（Manifold），一般可以认为是局部具有欧氏空间性质的空间。而实际上欧氏空间就是流形最简单的实例。像地球表面这样的球面是一个稍为复杂的例子。一般的流形可以通过把许多平直的片折弯并粘连而成。
流形在数学中用于描述几何形体，它们提供了研究可微性的最自然的舞台。物理上，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。他们也用于位形空间(configuration space)。环面(torus)就是双摆的位形空间。
如果把几何形体的拓扑结构看作是完全柔软的，因为所有变形(同胚)会保持拓扑结构不变，而把解析簇看作是硬的，因为整体的结构都是固定的(譬如一个1维多项式，如果你知道(0,1)区间的取值，则整个实属范围的值都是固定的,局部的扰动会导致全局的变化)，那么我们可以把光滑流形看作是介于两者之间的形体，其无穷小的结构是硬的，而整体结构是软的。这也许是中文译名流形的原因(整体的形态可以流动),该译名由著名数学家和数学教育学家江泽涵引入。这样，流形的硬度使它能够容纳微分结构，而它的软度使得它可以作为很多需要独立的局部扰动的数学和物理上的模型。
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1 简介
2 引例: 圆圈
3 坐标图，图集和变换映射
4 构造
4.1 图集
4.1.1 带图册的球面
4.2 贴补
4.2.1 内在和外在的观点
4.2.2 作为贴补的n维球面
4.3 函数的零点
4.3.1 作为一个函数零点的n维球面
4.4 认同一个流形上的不同点
4.5 直积
4.6 沿边界粘合
5 拓扑流形
6 微分流形
7 可定向性
7.1 莫比乌斯带
7.2 克莱因瓶
7.3 实射影平面
8 豪斯朵夫假设
8.1 两个原点的线
9 流形的其他类型和推广
10 历史
11 相关条目
12 参考
13 补充
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简介
流形可以视为近看起来象欧氏空间或其他相对简单的空间的物体。例如，人们曾经以为地球是平坦的，因为我们相对于地球很小，这是一个可以理解的假象。所以，一个理想的数学上的球在足够小的区域也象一个平面，这使它成为一个流形。但是球和平面有很不相同的整体结构:如果你在球面上沿一个固定方向走，你最终回到起点，而在一个平面上，你可以一直走下去。
一个曲面是二维的。但是，流形可以有任意维度。其他的例子有，一根线的圈(一维的)以及三维空间中的所有旋转(三维的)。旋转所组成的空间的例子表明流形可以是一个抽象空间。流形的技术使得我们能够独立的考虑这些对象，从某种意义上来讲，我们可以有一个不依赖于任何其他空间的球。
局部的简单性是一个很强的要求。例如，我们不能在球上吊一个线并把这个整体叫做一个流形；包含把线粘在球上的那一点的区域都不是简单的 — 既不是线也不是面 — 无论这个区域有多小.
我们用收集在地图集中的平的地图在地球上航行。类似的，我们可以用在数学图集中的数学地图(称为坐标图)来描述一个流形.通常不可能用一张图来描述整个流形，这是因为流形和建造它的模型所用的简单空间在全局结构上的差异。当使用多张图来覆盖流形的时候，我们必须注意它们重叠的区域，因为这些重叠包含了整体结构的信息。
有很多不同种类的流形。最简单的是拓扑流形，它们局部看来像欧氏空间。其他的变种包含了它们在使用中所需要的额外的结构。例如，一个微分流形不仅支持拓扑，而且要支持微积分。黎曼流形的思想导致了广义相对论的数学基础，使得人们能够用曲率来描述时空。
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引例: 圆圈
Image:Circle with overlapping manifold charts.png
四张图分别把圆的一部分映射到一个开区间，它们合在一起覆盖了整个圆。
圆是除欧氏空间外的拓扑流形的最简单的例子。让我们考虑,例如一个半径为1，圆心在原点的圆。若x 和y是圆上的点的坐标，则我们有x² + y² = 1.
局部看来，圆像一条线，而线是一维的。换句话说，我们只要一个坐标就可以在局部描述一个圆。例如，圆的上半部，y-坐标在那里是正的(右图中黄色的部分)。那个部分任何一点都可以用x-坐标确定。所以，存在双射 χtop，它通过简单的投影到第一个坐标(x)将圆的黄色部分映射到开区间(−1, 1)：
$\backslash chi\_\{\backslash mathrm\{top\}\}(x,y)\; =\; x.\; \backslash ,$
这样的一个函数称为图(chart)。类似的，下半部（红），左半部（蓝），右半部（绿）也有图。合起来,这些部分覆盖了整个圆，我们称这四个图组成一个该圆的图集(atlas)。
注意上部和右部的图的重叠部分。它们的交集位于圆上x和y坐标都是正的四分之一弧上。两个图χtop 和χright 将这部分双射到区间(0, 1)。这样我们有个函数T 从(0, 1)到它自己，首先取黄色图的逆到达圆上再通过绿图回到该区间:
$T(a)\; =\; \backslash chi\_\{\backslash mathrm\{right\}\}\backslash left(\backslash chi\_\{\backslash mathrm\{top\}\}^\{-1\}(a)\backslash right)\; =\; \backslash chi\_\{\backslash mathrm\{right\}\}\backslash left(a,\; \backslash sqrt\{1-a^2\}\backslash right)\; =\; \backslash sqrt\{1-a^2\}.$
这样的函数称为变换映射(坐标变换).
Image:Circle manifold chart from slope.png
圆圈流形基于斜率的坐标图集，每个图覆盖除了一点之外的所有点。
上，下，左，右的坐标图表明园圈是一个流形，但它们不是唯一可能的图集。坐标图不必是几何射影，而图的数量也可以有某种选择。考虑坐标图
$\backslash chi\_\{\backslash mathrm\{minus\}\}(x,y)\; =\; s\; =\; \{y\backslash over\{1+x\}\}$
和
$\backslash chi\_\{\backslash mathrm\{plus\}\}(x,y)\; =\; t\; =\; \{y\backslash over\{1-x\}\}.$
这里s是穿过坐标为(x,y)的可变点和固定的中心点(−1,0)的线的斜率; t是镜像对称，其中心点为(+1,0)。从s到(x,y)的逆映射为
$x\; =\; \{\{1-s^2\}\backslash over\{1+s^2\}\},\backslash qquad\; y\; =\; \{\{2s\}\backslash over\{1+s^2\}\};$
我们很容易确认x²+y² = 1 对于所有斜率值s成立。这两个图提供了圆圈的又一个图集，其变换函数为
$t\; =\; \{1\backslash over\; s\}.$
注意每个图都缺了一点，对于s是(−1,0)，对于t是(+1,0)，所以每个图不能独自覆盖整个圆圈。利用拓扑学的工具，我们可以证明没有单个的图可以覆盖整个圆圈；在这个简单的例子里，我们已经需要用到流形可以拥有多个坐标图的灵活性。
Image:Conics and cubic.png
从代数曲线来的四个流形: ■ 圆圈, ■ 抛物线, ■ 双曲线, ■ 三次曲线.
流形不必连通(整个只有一片);这样，一对分离的圆圈可以是一个拓扑流形。它们不必是闭的；所以不带两个端点的线段也是流形。它们也不必有限;这样抛物线也是一个拓扑流形。把这些自由选择加起来，两个另外的拓扑流形的例子有双曲线和三次曲线y² - x³ + x = 0上的点的轨迹。
但是，我们排除了向两个相切的圆(它们共享一点并形成8字形)的例子；在切点我们无法创建一个满意的到一维欧氏空间的坐标图。(我们可以在代数几何中用另一种观点来看，在那里我们考虑四次曲线 ((x − 1)² + y² − 1)((x + 1)² + y² − 1) = 0上的复数点，其实数点构成一对在原点相切的一对圆。
从微积分的观点来看，圆的变换函数T只是开区间之间的函数，所以我们知道它意味着T是可微的。事实上，T在(0, 1)可微而且对于其他变换函数也是一样。所以，这个图集把圆圈变成可微流形。
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坐标图，图集和变换映射
坐标图(chart)
一个流形的一个坐标映射,坐标图, 或简称图是一个在流形的一个子集和一个简单空间之间的双射，使得该映射及其逆都保持所要的结构。对于拓扑流形，该简单空间是某个欧氏空间Rn而我们感兴趣的是其拓扑结构。这个结构被同胚保持，也就是可逆的在两个方向都连续的映射。
图对于计算极其重要，因为它使得计算可以在简单空间进行，再把结果传回流形。
例如极坐标，是一个R2除了负x轴和原点之外的图。上节提到的映射χtop是圆圈的一个图
图集
多数流形的表述需要多于一个的图(只有最简单的流形只用一个图)。覆盖流形的一个特定的图的集合称为一个图集。图集不是唯一的，因为所有流形可以被不同的图的组合用很多方式覆盖。
包含所有和给定图集相一致的图的图集称为极大图集。不像普通的图集，极大图集是唯一的。虽然可能在定义中有用，这个对象非常抽象，通常不直接使用(例如，在计算中)。
变换映射
图集中的图通常会互相重叠，而流形中的一个点可能会被好几个图所表示。如果两个图重叠，它们的部分会表示流形的同一个区域。这些部分之间的关联代表流形上同一点的坐标点的映射，譬如上面圆圈例子中的映射T，称为坐标变换,变换函数,或者转换函数,转换映射。
附加的结构
图集也可用于定义流形上的附加结构。结构首先在每个图上分别定义。如果所有变换映射和这个结构相容，该结构就可以转到流形上。
这是微分流形的标准定义方式。如果图集的变换映射对于一个拓扑流形保持Rn 自然的微分结构(也就是说，如果它们是微分同胚)，该微分结构就传到了流形上并把它变成微分流形。
通常，流形的结构依赖于图集，但有时不同的图集给出相同的结构。这样的图集称为相容的。
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构造
一个流形可以以不同方式构造，每个方式强调了流形的一个方面，因而导致了不同的观点。
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图集
Image:Sphere with chart.png
该坐标图把球面有正z坐标的部分映射到一个圆盘。
可能最简单的构造一个流形的方法是在上面的例子中的圆圈的构造方法。首先，确认R2的一个子集，然后覆盖这个自己的图册被构造出来。流形的概念历史上就是从这样的构造发展出来的。这里有另一个例子，把这个方法应用在球面的构造上:
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带图册的球面
球面的表面可以几乎和圆圈一样的方法来处理。我们把球面视作R3的子集:
$S\; =\; \backslash \{\; (x,y,z)\; \backslash in\; \backslash mathbf\{R\}^3\; x^2\; +\; y^2\; +\; z^2\; =\; 1\; \backslash \}.$
球面是二维的，所以每个坐标图将映射球面的一部分到一个R2的开子集。例如考虑北半球，它是带正z坐标的部分。(在右图中它着红色)定义如下的函数χ
$\backslash chi(x,y,z)\; =\; (x,y),$
把北半球映射到开单位圆盘，通过把它投影到(x, y)平面。类似的坐标图对南半球也存在。和投影到(x, z)平面的两个坐标图以及投影到(y, z)平面的两个坐标图一起，我们得到了一个覆盖整个球面的含6个坐标图的图册。
这可以很容易地扩展到高维的球面。
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贴补
流形可以通过把碎片以一种相容的方式粘合来构造，使得碎片成为互相覆盖的坐标图。这种构造对于任何流形都是可行的，所以经常作为流形的表述，特别是微分和黎曼流形。它集中于图册的构造，把流形作为坐标图所自然的提供的贴片，因为不涉及外部的空间，这导致了流形的内在的观点。
这里，流形通过给定图册来构造，图册通过定义转换映射来得到。流形的一个点因而是指通过变换映射映到同一个点的坐标点的等价类。坐标图把等价类映射到一个贴片上的点。通常会对变换映射有很强的一致性要求。对于拓扑流形，它们被要求为同胚；如果它们也是微分同胚，最后得倒的流形就是微分流形。
这可以通过变换映射圆圈例子的第二部分中的t = 1⁄s来解释。从直线的两个拷贝开始。第一个拷贝用坐标s，第二个拷贝用t。现在，通过把第二个拷贝上的点t和第一个拷贝上的点1⁄s作为同一个点来粘合起来(点t = 0不和任何第一个拷贝上的点认同)。这就给出了一个圆圈。
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内在和外在的观点
第一种构造和这种构造非常相似，但是他们代表了相当不同的观点。在第一种构造中，流形被视为嵌入到某个欧氏空间中。这是外在的观点。当一个流形用这种方式来看的时候，它很容易通过直觉从欧氏空间得倒附加的结构。例如，在欧氏空间，很明显某个点的一个向量是否和穿过该点的曲面 相切或者垂直。
贴补构造不用任何嵌入，只是简单把流形看作拓扑空间本身。这个抽象的观点称为内在的观点。这使得什么是切向量更难以想象。但是它表达了流形的本质，在计算上来讲，这使我们避免了使用更高的维度，例如我们只要二维而不是三维就可以作球面上的计算。
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作为贴补的n维球面
n维球面Sn可以通过粘合Rn的两个拷贝来构造。他们之间的变换函数定义为
$\backslash mathbf\{R\}^n\; \backslash setminus\; \backslash \{0\backslash \}\; \backslash to\; \backslash mathbf\{R\}^n\; \backslash setminus\; \backslash \{0\backslash \}:\; x\; \backslash mapsto\; x/\backslash x\backslash ^2.$
这个函数是它自身的逆，因而可以在两个方向使用。因为变换映射是一个光滑函数，这个图册定义了一个光滑流形。
如果我们取n = 1, 我们就得倒了上面圆圈的例子。
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函数的零点
很多流形可以定义为某个函数的零点集。这个构造自然的把流形嵌入一个欧氏空间，因而导向一个外在的观点。这很形象，但不幸的是不是每个流形都可以这样表示。
如果一个可微函数的雅戈比矩阵在函数为0的每一点是满秩的，则根据隐函数定理，每个这样的点周围存在一个为0的领域微分同胚于一个欧氏空间。因此零点集是一个流形。
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作为一个函数零点的n维球面
n维球面Sn经常定义为
$\backslash mathbf\{S\}^n\; :=\; \backslash \{x\; \backslash in\; \backslash mathbf\{R\}^\{n+1\}\; :\; \backslash x\backslash \; =\; 1\; \backslash \}$
这等价为如下函数的零点
$x\; \backslash mapsto\; \backslash x\backslash \; -\; 1.$
这个函数的雅戈比矩阵是
$\backslash begin\{bmatrix\}$
x_1 & \ldots & x_{n+1} \end{bmatrix},
它的秩对于除了原点的所有点为1(对于1×n矩阵就是满秩的)。这证明n维球面是一个微分流形。
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认同一个流形上的不同点
可以把流形上的不同点定义为相同。这可以视为把不同的点粘合为同一个点。结果经常不是流形，但在有些情况下是流形。
这些情况下，认同过程是用群来完成的，这是作用在流形上的群。两个点被视为同一个如果一个能被该群的一个元素移动到另一个上面。如果M是该流形而G是该群，结果空间称为商空间，并记为M/G。可以通过认同点来构造的流形包括环面和实射影空间(分别从一个平面和一个球面开始)。
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直积
流形的直积也是流形。但不是每个流形都是一个积。
积流形的维度是其因子的维度之和。其拓扑是乘积拓扑，而坐标图的直积是积流形的坐标图。这样，积流形的图册可以用其因子的图册构造。如果这些图册定义了因子上的微分结构，相应的积图册定义了积流形上的一个微分结构。因子上定义的其他结构也可以同样处理。如果一个因子有一个边界，积流形也有边界。直积可以用来构造环面和有限圆柱面，例如，分别定义它们为S1 × S1和S1 × [0, 1]。
Image:Red cylinder.png
有限圆柱面是带边界的流形。
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沿边界粘合
两个带边界的流形可以沿着边界粘合。如果用正确的方式完成，结果也是流形。类似的，一个流形的两个边界也可以粘合起来。
形式化的，粘合可以定义为两个边界的一个双射。两个点被认同为一个，如果它们互相映射到对方。对于一个拓扑流形，这个双射必须是同胚，否则结果就不是拓扑流形。类似的，对于一个微分流形，它必须是微分同胚。对于其它流形，其他的结构必须被这个双射所保持。
有限的圆柱面可以作为一个流形构造，先从一个长条R × [0, 1]开始，然后把对边通过适当的微分同胚粘合起来。克莱因瓶可以一个带孔的球面和一个莫比乌斯带沿着各自的圆形边界粘合起来得倒。
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拓扑流形
该主题的更多细节，请参看拓扑流形.
最容易定义的流形是拓扑流形，它局部看起来象一些"普通"的欧氏空间Rn。形式化的讲，一个拓扑流形是一个局部同胚于一个欧氏空间的拓扑空间。这表示每个点有一个领域，它有一个同胚(连续双射其逆也连续)将它映射到Rn。这些同胚是流形的坐标图。
通常附加的技术性假设被加在该拓扑空间上，以排除病态的情形。可以根据需要要求空间是豪斯朵夫的并且第二可数。这表示下面所述的有两个原点的直线不是拓扑流形，因为它不是豪斯朵夫的。
流形在某一点的维度就是该点映射到的欧氏空间图的维度(定义中的数字n)。连通流形中的所有点有相同的维度。有些作者要求拓扑流形的所有的图映射到同一欧氏空间。这种情况下，拓扑空间有一个拓扑不变量，也就是它的维度。其他作者允许拓扑流形的不交并有不同的维度。
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微分流形
该主题的更多细节，请参看微分流形.
很容易定义拓扑流形，但是很难在它们上面工作。对于多数应用，拓扑流形的一种，'微分流形比较好用。如果流形上的局部坐标图以某种形式相容，就可以在该流形上讨论方向，切空间，和可微函数。特别是，可以在微分流形上应用"微积分"。
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可定向性
考虑一个拓扑流形，其坐标图映射到Rn。给定一个Rn的有序基，坐标图就给它所覆盖的流形的一片引入了一个方向，我们可以视为或者右手或者左手的。重叠的坐标图不要求在方向上一致，这给了流形一个重要的自由度。对于某些流形，譬如球面，我们可以选取一些坐标图使得重叠区域在"手性"上一致；这些流形称为"可定向"的。对于其它的流形，这不可能做到。后面这种可能性容易被忽视，因为任何在三维空间中(不自交的)嵌入的闭曲面都是可定向的。
我们考虑三个例子: (1)莫比乌斯带，它是有边界的流形，(2)克莱因瓶，它在三维空间必须自交，以及(3)实射影平面，它很自然的出现在几何学中。

莫比乌斯带
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莫比乌斯带
从一个竖着的无限圆柱面开始，这是一个无边界的流形。在高和低的地方各剪一刀，产生两个圆形边界，和它们之间的一个圆形的带子。这是一个带边界的可定向流形，我们在它上面动一个小"手术"。把带子剪开，使得它能展开成一个矩形，但把两头捏住。把其中一头转180°，把内面翻倒朝外，然后把两头无缝的粘回来。现在我们有了一个永久半翻转的带子，就是莫比乌斯带。它的边界不再是一对圆圈，而是(拓扑上)单个圆圈；曾经是"内面"的现在和"外面"并了起来，使得它只有"单"面。
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克莱因瓶
Image:KleinBottle-01.png
浸入到三维空间的克莱因瓶。
取两个莫比乌斯带；每个都以一个圈为边界。把每个圈拉成一个圆圈，并把带子变成交叉帽(cross-cap)。(注意这在三维空间物理上是不可能的；克莱因瓶不能放到三维空间中，就像莫比乌斯带(或者球面)不能放在平面上一样。实际建造一个克莱因瓶必需在至少四维的空间进行) 把圆圈粘合起来会产生一个新的闭合流形，没有边界的克莱因瓶。把曲面闭合起来并不能改变不可定向性，它只是移除了边界。这样克莱因瓶就成了一个不能分辨内外的闭合曲面。
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实射影平面
从圆心为原点的球面开始。穿过原点的每条直线在两个相对的点穿透球面。虽然我们不能物理上这么做，我们在数学上可以把相对点合并为同一点。这样产生的闭合曲面是实射影平面，又一个不可定向曲面。它有一些等价 的表述和构造，但是这个方法揭示了它的名字:所有给定的穿过原点的直线射影到该"平面"的一个"点"。
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豪斯朵夫假设
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两个原点的线
我们在这里给出一个空间的例子，它满足拓扑流形所有的条件，除了它不是豪斯朵夫空间(Hausdorff space)。取两个R的拷贝，把它们写作
$\backslash mathbf\{R\}\backslash times\backslash \{0\backslash \}$ and $\backslash mathbf\{R\}\backslash times\backslash \{1\backslash \}$,
并定义如下等价关系
$(x,0)\; \backslash sim\; (x,1)$ if $x\; \backslash neq\; 0$.
从这个等价关系得到的商空间L是一个象实直线那样的空间，除了有两个点"占据"了原点。特别的是，它们不能被不交的开集所分离，所以L不是豪斯朵夫的。它是一个拓扑流形，但不是豪斯朵夫拓扑流形。
经常，拓扑流形被定义为必须是豪斯朵夫的，在这个定义下，上面的例子不是流形。
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流形的其他类型和推广
要在流形上研究几何，通常必须用附加的结构来装饰这些空间，例如上面的微分流形所加入的微分结构。根据所需要的不同的几何，有许多其它的可能性:
复流形: 复流形是建模在Cn上的流形，在坐标图的重叠处以全纯函数为变换函数。这些流形是复几何研究的基本对象。一个一维复流形称为黎曼曲面。
巴拿赫和Fréchet流形:要允许无穷维，可以考虑巴拿赫流形，它局部同胚于巴拿赫空间。类似的，Fréchet流形局部同胚于Fréchet space。
轨形(Orbifolds):一个轨形是流形的推广，允许某种"奇异点"在其拓扑中存在。大致来讲，它是局部看起来像一些简单空间(例如，欧氏空间)通过各种有限群的群作用的商。奇点对应于群作用的不动点，而作用必须在某种意义下相容。
代数簇和概形(Algebraic varieties and schemes):一个代数簇是几个仿射代数簇粘起来得到的，仿射代数簇是在代数封闭的域上多项式的零点集。类似的，概形是仿射概形粘起来得到的，而仿射概形是代数簇的一个推广。二者都和流形相关，但都使用层而非坐标图集来构造。
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历史
第一个清楚地把曲线和曲面本身构想为空间的可能是高斯，他以他的theorema egregium('突出的定理')建立了内在的微分几何。
黎曼是第一个广泛的展开真正需要把流形推广到高维的工作的人。流形的名字来自黎曼原来的德语术语Mannigfaltigkeit,William Kingdon Clifford把它翻译为"manifoldness"(多层)。在他的哥廷根就职演说中，黎曼表明一个属性可以取的所有值组成一个Mannigfaltigkeit。他根据值的变化连续与否对stetige Mannigfaltigkeit和离散 [sic] Mannigfaltigkeit(连续流形 和不连续流形)作了区分。作为stetige Mannigfaltikeiten的例子，他提到了物体颜色和在空间中的位置，以及一个空间形体的可能形状。他把一个n fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit (n次扩展的或n-维流形)构造为一个连续的(n-1) fach ausgedehnte Mannigfaltigkeiten堆。黎曼直觉上的Mannigfaltigkeit概念发展为今天形式化的流形。 黎曼流形和黎曼曲面以他的名字命名。
交换簇的概念在黎曼的时代已经被隐含的作为复流形使用。拉格朗日力学和哈密尔顿力学,从几何方面考虑，本质上也是流形理论。
庞加莱研究了三维流形，并提出一个问题，就是现在所谓的庞加莱猜想:所有闭简单连通的三维流形同胚于3维球吗？这个问题还未完全解决，但是Grigori Perelman似乎有不错的进展。
Hermann Weyl在1912年给出了微分流形的一个内在的定义。该课题的基础性方面在1930年代被Hassler Whitney等人运用从19世纪下半叶就开始发展的精确的直觉理清，并通过微分几何和李群理论得到了发展。

仿射联络

仿射联络(affine connection)是可微分流形的切丛上的一种联络。通常，它可能有非0的扭率(torsion)。
黎曼几何中的Levi-Civita联络是无扭率仿射联络的例子。

列维-奇维塔联络

列维-奇维塔联络（），在黎曼几何中， 是切丛上的无扭率联络，它保持黎曼度量(或伪黎曼度量)不变。因Tullio Levi-Civita而得名。
黎曼几何基本定理表明存在唯一连接满足这些属性。
在黎曼流形和伪黎曼流形的理论中，共变导数一词经常用于列维-奇维塔联络。联络的坐标空间的表达式称为克氏符号（）。
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1 形式化定义
2 沿曲线的导数
3 外部链接
4 补充
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形式化定义
设$(M,g)$为一黎曼流形（或伪黎曼流形），则仿射联络 $\backslash nabla$在满足以下条件时是列维-奇维塔联络
保度量,也就是,对任何向量场$X$, $Y$, $Z$我们有$Xg(Y,Z)=g(\backslash nabla\_X\; Y,Z)+g(Y,\backslash nabla\_X\; Z)$, 其中$Xg(Y,Z)$表示函数$g(Y,Z)$沿向量场 $X$的导数。
无扭率, 也就是,对任何向量场$X$，$Y$我们有$\backslash nabla\_XY-\backslash nabla\_YX=[X,Y]$, 其中$[X,Y]$是向量场 $X$ 和$Y$的李括号。
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沿曲线的导数
列维-奇维塔联络也定义了一个沿曲线的导数，通常用$D$表示。
给定一个在$(M,g)$上的光滑曲线$\backslash gamma$和$\backslash gamma$上的一个向量场$V$ 其导数定义如下
$\backslash frac\{D\}\{dt\}V=\backslash nabla\_\{\backslash dot\backslash gamma(t)\}V.$
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外部链接
MathWorld: Levi-Civita Connection
PlanetMath: Levi-Civita Connection
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补充
列维-奇维塔联络（Levi-Civita connection），在黎曼几何中， 是切丛上的无扭率联络，它保持黎曼度量(或伪黎曼度量)不变。因Tullio Levi-Civita而得名。
黎曼几何基本定理表明存在唯一连接满足这些属性。
在黎曼流形和伪黎曼流形的理论中，共变导数一词经常用于列维-奇维塔联络。联络的坐标空间的表达式称为克氏符号（Christoffel symbols）。
设(M,g)为一黎曼流形（或伪黎曼流形），则仿射联络 在满足以下条件时是列维-奇维塔联络
保度量,也就是,对任何向量场X, Y, Z我们有, 其中Xg(Y,Z)表示函数g(Y,Z)沿向量场 X的导数。
无扭率, 也就是,对任何向量场X，Y我们有, 其中[X,Y]是向量场 X 和Y的李括号。
沿曲线的导数
列维-奇维塔联络也定义了一个沿曲线的导数，通常用D表示。
取自"http://www.wiki.cn/wiki/%E5%88%97%E7%BB%B4-%E5%A5%87%E7%BB%B4%E5%A1%94%E8%81%94%E7%BB%9C"

联络

在微分几何中，联络(connection或connexion)或者协变导数(covariant derivative)是指定流形上的向量场沿着另外一个向量场的一个导数的方法。这是在切丛上的一个应用；有更为一般的联络用在微分几何和其他领域中以表述内在的微分方程。联络可以指任何向量丛上的联络，或者主丛上的一个联络。
联络导出了沿着流形上的曲线的平行传输。联络也给出曲率(参看曲率张量和曲率形式)的不变量，以及所谓的扭率.
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一般概念
一般概念可以这样总结为:给定一个纤维丛$\backslash eta:E\backslash to\; B$ 在E的任意点的切空间有一个标准的竖直子空间，也就是和纤维相切的子空间。联络在E的每点选定一个水平子空间使得E的切空间成为竖直和水平子空间的一个直和。通常对于水平子空间的选取有更多的要求，但它们取决于丛的类型。
给定$B\text{'}\backslash to\; B$，诱导的丛(拉回丛)有诱导的联络。若$B\text{'}=I$是一个区间，则B上的联络给出了I上的拉回丛的一个平凡化,也就是说，I上的纤维之间的一个单参数同胚族。这个族称为沿着曲线 $I\backslash to\; B$ 的平行位移,它给出联络的一个等价表述(在黎曼流形上的Levi-Civita联络的情形中称为平行传输)。
有很多描述联络的方法；有一种方法是，把联络表示为一个1-形式的矩阵，它在一个坐标图中表示协变导数和普通偏导数的区别的乘子。也就是说，偏导数不是流形的内在概念:联络修正了这个概念，使得我们可以用几何术语进行讨论。
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可能的途径
有很多定义联络的途径。他们包括下述这些:
较为直接的模方式的协变导数，表明允许向量场作为向量丛的截面的微分算子的条件。
传统的指标记号用分量形式给定联络；见协变导数(三个指标，但这'不'是一个张量)。
在黎曼几何中，有一种从度量张量导出联络的方法(Levi-Civita联络)。
使用主丛和李代数值的微分形式(见联络形式和卡当联络)。
最抽象的方法可能是Alexander Grothendieck所建议的,联络被视为对角线的无穷小邻域的下降数据。
上面所指的联络是线性或仿射联络。也有射影联络的概念；最常见的这种类型的联络有复分析中的Schwarzian导数。

克里斯托费尔符号

克氏符号，全称克里斯托费尔符号（Christoffel symbols）, 在数学和物理中, 是从度量张量导出的列维-奇维塔联络（）的坐标表达式。因Elwin Bruno Christoffel(1829年-1900年)命名。克氏符号在每当进行涉及到几何的实用演算时都会被用到, 因为他们使得非常复杂的演算不被搞混。不幸的是, 他们很难看, 并要求对细节的仔细关注。相反,无下标的形式化的列维-奇维塔联络的概念是相当漂亮,并允许定理用典雅的方式表达, 但是在实用演算中没有什么用处。
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1 预备
2 定义
3 和无指标符号的关系
4 关系
5 黎曼曲率
6 Ricci曲率
7 外尔张量
8 坐标变换
9 参考
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预备
下面的定义对于黎曼流形和广义相对论用到的伪黎曼流形都是适用的，反变（contravariant，用上标表示）和共变（covariant，用下标表示）的指标作了严格的区分。公式对两种符号常规都成立，除特别指出的外。
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定义
克氏符号可以从度量张量$g\_\{ik\}$的共变导数为0这一事实来导出：
$D\_lg\_\{ik\}=\backslash frac\{\backslash partial\; g\_\{ik\}\}\{\backslash partial\; x^l\}-\; g\_\{mk\}\backslash Gamma^m\_\{il\}\; -\; g\_\{im\}\backslash Gamma^m\_\{kl\}=0.$
通过交换指标（），和求和，可以解出联络：
$\backslash Gamma^i\_\{kl\}=\backslash frac\{1\}\{2\}g^\{im\}\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; g\_\{mk\}\}\{\backslash partial\; x^l\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; g\_\{ml\}\}\{\backslash partial\; x^k\}\; -\; \backslash frac\{\backslash partial\; g\_\{kl\}\}\{\backslash partial\; x^m\}\; \backslash right).$
注意虽然记号有三个指标，他们不是张量。它们不像张量那样变换。它们是二阶切丛上的物体的分量，是一个喷射，参看jet丛。克氏符号在坐标变换下的变换性质见下面。
注意，多数作者用和乐(或称完全，holonomic)的坐标系，我们也用这样的常规做法。在非和乐的坐标中，克氏符号有更复杂的形式
$\backslash Gamma^i\_\{kl\}=\backslash frac\{1\}\{2\}g^\{im\}\; \backslash left($
\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^l} + \frac{\partial g_{ml}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{kl}}{\partial x^m} + c_{mkl}+c_{mlk} - c_{klm} \right)
其中$c\_\{klm\}=g\_\{mp\}\; \{c\_\{kl\}\}^p$是该基的交换系数；也就是
$[e\_k,e\_l]\; =\; \{c\_\{kl\}\}^m\; e\_m$
其中ek是向量的基而$[,]$ 是李括号。
以下的表达式除作特殊说明外都是在和乐坐标基中。
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和无指标符号的关系
令X和Y为向量场，其分量为$X^i$ 和$Y^k$。则Y相对于X的共变导数的第k个分量为
$\backslash left(\backslash nabla\_X\; Y\backslash right)^k\; =\; X^i\; D\_i\; Y^k\; =\; X^i\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; Y^k\}\{\backslash partial\; x^i\}\; +\; \backslash Gamma^k\_\{im\}\; Y^m\backslash right)$.
有些老的物理书有时把X写成dx,并把它放在方程的后面而不是前面。这里，采用了爱因斯坦记号，所以重复出现的指标表示求和，和度量张量的缩并(contraction)用来升降指标:
$\backslash langle\; X,Y\backslash rangle\; =\; g(X,Y)\; =\; X^i\; Y\_i\; =\; g\_\{ik\}X^i\; Y^k$.
注意$g\_\{ik\}\backslash neq\; g^\{ik\}$和克罗内克记号(Kronecker delta)$g^i\_k=\backslash delta^i\_k$。常规上，度量张量是有下标的那个；这确的从$g\_\{ik\}$得到$g^\{ik\}$的办法是解线性方程组$g^\{ij\}g\_\{jk\}=\backslash delta^i\_k$。也即，gik是gik的逆。
联络是无扭率的表达式是
$\backslash nabla\_X\; Y\; -\; \backslash nabla\_Y\; X\; =\; [X,Y]$
这和克里斯托夫记号对两个下标对称是等价的:
$\backslash Gamma^i\_\{jk\}=\backslash Gamma^i\_\{kj\}$.
无指标的张量变换性质是由共变指标的回拉(pullback)和反变指标的前推(pushforward)来给出的。共变导数条目有关于无指标和有指标表示法的关系的更多讨论。
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关系
把指标所并起来，就得到
$\backslash Gamma^i\_\{ki\}=\backslash frac\{1\}\{2\}\; g^\{im\}\backslash frac\{\backslash partial\; g\_\{im\}\}\{\backslash partial\; x\_k\}=\backslash frac\{1\}\{2g\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; g\}\{\backslash partial\; x\_k\}\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash log\; \backslash sqrt\{g\}\}\{\backslash partial\; x\_k\}$
其中g是度量张量$g\_\{ik\}$的行列式的绝对值。
类似的,
$g^\{kl\}\backslash Gamma^i\_\{kl\}=\backslash frac\{-1\}\{\backslash sqrt\{g\}\}\; \backslash ;\backslash frac\{\backslash partial\backslash sqrt\{g\}\backslash ,g^\{ik\}\}\; \{\backslash partial\; x^k\}.$
向量场 $V^m$ 的 共变导数(covariant derivative)是
$D\_l\; V^m\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; V^m\}\{\backslash partial\; x^l\}\; +\; \backslash Gamma^m\_\{kl\}\; V^k.$
共变散度(covariant divergence) 是
$D\_m\; V^m\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; V^m\}\{\backslash partial\; x^m\}\; +\; V^k\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash log\; \backslash sqrt\{g\}\}\{\backslash partial\; x^k\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{g\}\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; (V^m\backslash sqrt\{g\})\}\{\backslash partial\; x^m\}$.
张量 $A^\{ik\}$ 的共变导数是
$D\_l\; A^\{ik\}=\backslash frac\{\backslash partial\; A^\{ik\}\}\{\backslash partial\; x^l\}\; +\; \backslash Gamma^i\_\{ml\}\; A^\{mk\}\; +\; \backslash Gamma^k\_\{ml\}\; A^\{im\}$.
若张量是反对称的,则其散度简化为
$D\_k\; A^\{ik\}=\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{g\}\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; (A^\{ik\}\backslash sqrt\{g\})\}\{\backslash partial\; x^k\}$.
标量场$\backslash phi$的反变导数称为$\backslash phi$的梯度。也就是说，梯度就是把微分的指标升到上面:
$D^i\backslash phi=g^\{ik\}\backslash frac\{\backslash partial\backslash phi\}\{\backslash partial\; x^k\}.$
标量势的拉普拉斯算子Laplacian是
$\backslash Delta\; \backslash phi=\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{g\}\}\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x^i\}\backslash left(g^\{ik\}\backslash sqrt\{g\}\backslash frac\{\backslash partial\backslash phi\}\{\backslash partial\; x^k\}\backslash right)$.
拉普拉斯也就是梯度的共变散度(对于标量场来讲) $\backslash Delta\; \backslash phi=D\_i\; D^i\backslash phi$.
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黎曼曲率
黎曼曲率张量是
$R\_\{iklm\}=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left($
\frac{\partial^2g_{im}}{\partial x^k \partial x^l} + \frac{\partial^2g_{kl}}{\partial x^i \partial x^m} - \frac{\partial^2g_{il}}{\partial x^k \partial x^m} - \frac{\partial^2g_{km}}{\partial x^i \partial x^l} \right) +g_{np} \left( \Gamma^n_{kl} \Gamma^p_{im} - \Gamma^n_{km} \Gamma^p_{il} \right) .
该张量的对称性有
$R\_\{iklm\}=R\_\{lmik\}$ 和 $R\_\{iklm\}=-R\_\{kilm\}=-R\_\{ikml\}$.
也就是交换前后两对指标是对称的，交换其中一对是反对称的。
循环替换的和是
$R\_\{iklm\}+R\_\{imkl\}+R\_\{ilmk\}=0.$
Bianchi恒等式是
$D\_m\; R^n\_\{ikl\}\; +\; D\_l\; R^n\_\{imk\}\; +\; D\_k\; R^n\_\{ilm\}=0.$
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Ricci曲率
Ricci张量由下式给出
$R\_\{ik\}=\backslash frac\{\backslash partial\backslash Gamma^l\_\{ik\}\}\{\backslash partial\; x^l\}\; -\; \backslash frac\{\backslash partial\backslash Gamma^l\_\{il\}\}\{\backslash partial\; x^k\}\; +\; \backslash Gamma^l\_\{ik\}\; \backslash Gamma^m\_\{lm\}\; -\; \backslash Gamma^m\_\{il\}\backslash Gamma^l\_\{km\}.$
该张量是对称的: $R\_\{ik\}=R\_\{ki\}$. 它可以通过收缩黎曼张量的指标得到:
$R\_\{ik\}=g^\{lm\}R\_\{limk\}.$
标量曲率由下式给出
$R=g^\{ik\}R\_\{ik\}$.
标量的共变导数可以从Bianchi等式推出:
$D\_l\; R^l\_m\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; R\}\{\backslash partial\; x^m\}$.
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外尔张量
外尔张量(Weyl tensor)是
$C\_\{iklm\}=R\_\{iklm\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left($
- R_{il}g_{km} + R_{im}g_{kl} + R_{kl}g_{im} - R_{km}g_{il} \right) + \frac{1}{6} R \left( g_{il}g_{km} - g_{im}g_{kl} \right).
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坐标变换
在从$(x^1,...,x^n)$ 到 $(y^1,...,y^n)$的坐标变换下,向量的变换为
$\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; y^i\}\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; x^k\}\{\backslash partial\; y^i\}\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x^k\}$
所以
$\backslash overline\{\backslash Gamma^k\_\{ij\}\}\; =$
\frac{\partial x^p}{\partial y^i}\, \frac{\partial x^q}{\partial y^j}\, \Gamma^r_{pq}\, \frac{\partial y^k}{\partial x^r} + \frac{\partial y^k}{\partial x^m}\, \frac{\partial^2 x^m}{\partial y^i \partial y^j} 其中上划线表示y坐标系中的克氏符号。注意克氏符号不象张量那样变换，而是象jet丛中的对象那样。

共变导数

数学上，共变导数(covariant derivative,或称协变导数)是在流形上定义沿着向量场的导数的方法之一。
事实上，除了引入的风格不同之外，共变导数和联络没有实质上的区别。
在黎曼和伪黎曼流形理论中，共变导数通常指Levi-Civita联络。
这里，我们给出一个向量相对于向量场的共变导数(也称为张量导数)的传统的带指标记号的简介；张量的共变导数是同一概念的推广。
本条目中，我们使用爱因斯坦记号。我们假设读者熟悉微分流形的概念特别是关于切向量的概念。
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1 一般概念
1.1 备注
2 形式化定义
2.1 函数
2.2 向量场
2.3 余向量场
2.4 张量场
3 坐标表示
4 参看:
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一般概念
向量u的沿着向量v的共变导数 $\backslash nabla$ (也写作D)是一个定义第三个称为$\backslash nabla\_\{\backslash mathbf\; v\}\; \{\backslash mathbf\; u\}$ (也作 Dvu)的向量的规则，它有如下面所述的导数的属性。向量是一个几何对象，和所选基(坐标系统)无关。固定一个坐标系之后，这个导数和向量基自身的变换规则相同(共变变换)，所以有这个名字。
在欧氏空间的情形,如果有一个标准正交坐标系,一般会用两个相近的点的两个向量的差来定义向量场的导数.
在这样的系统中,平移其中一个向量到另一个的原点,保持和原来的向量平行.这样得到的欧氏空间的共变导数可以取每个分量的导数.
但是在一般情况,我们必须把坐标系的变化考虑在内.在弯曲空间中,例如地球表面(作为一个球面),平移没有严谨的定义,而和它相似的概念,平行输运,依赖于向量被平抑的路径.例如,在二维欧氏平面极坐标中,导数包含了额外的项用于表述坐标格点自身如何"转动".在其他的情况下,还有额外的项描述坐标格点如何扩张，收缩，扭转,交织，等等.
这是一个二维欧氏空间中的极坐标中的曲线的一个例子。在曲线参数t的向量(比如说加速度，不在图中)可以表达在坐标系$(\{\backslash mathbf\; e\}\_r,\; \{\backslash mathbf\; e\}\_\{\backslash theta\})$中,其中$\{\backslash mathbf\; e\}\_r$ 和 $\{\backslash mathbf\; e\}\_\{\backslash theta\}$是极坐标中的单位切向量,用作把一个向量分解为在辐向和切向分量的基底.稍后,极坐标的新基底会相对于第一套基底稍有转动.基向量的共变导数(克里斯拖费尔符号)可以表达这个变化.
(可能最好不要把t看作时间参数,至少在广义相对论的应用中不要这样.它只是一个任意参数沿着路径光滑而单调的变化.)
Image:Parallel transport on globe.png 另一个例子:向量e在球上位于赤道上的一点Q,方向朝北.假设我们首先沿着赤道平行输运该向量直到P然后(保持它和自己平行)沿着子午线把它拖到北极N然后(保持方向)继续沿着另一条子午线输运它回到Q.然后我们注意到沿着封闭回路平行输运的向量不会回到原来的向量;它会变成另外一个方向.这在欧氏空间不会发生,它发生的原因是球的曲面上的曲率.如果我们沿着无穷小闭曲面依次沿着两个不同方向然后返回,我们会看到同样的现象.向量的无穷小变化是曲率的一个测量.
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备注
定义中的向量u 和 v 是定义在同一点p的.而且共变导数$\backslash nabla\_\{\backslash mathbf\; v\}\{\backslash mathbf\; u\}$也是p的一个向量.
共变导数的定义不用空间的度量。但是，一个给定的度量唯一的确定了一个特殊的共变导数，称为列维-奇维塔联络。
导数的性质暗示者$\backslash nabla\_\{\backslash mathbf\; v\}\; \{\backslash mathbf\; u\}$依赖于p周围的情况，就像标量函数在一点p沿着曲线的导数依赖于p点周围一样。
共变导数在一个固定的坐标图中，可以用张量描述，但是它不是一个张量，因为它不是在坐标变换下不变的。
在共变导数中关于点p周围的信息可以用来定义向量的平行输运。而且曲率，扭率和测地线也可以只用共变导数来定义。
偶尔，术语"共变导数"指一个一般向量丛沿着基空间的一个切向量的截面的导数；参看"联络形式"中的"向量丛"的有关章节。
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形式化定义
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函数
给定一个函数$f$, 共变导数$\backslash nabla\_\{\backslash mathbf\; v\}f$和实函数在向量v方向的通常导数相同,同常记为$\{\backslash mathbf\; v\}f$ 或者 $df(\{\backslash mathbf\; v\})$.
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向量场
向量场$\{\backslash mathbf\; u\}$ 在向量$\{\backslash mathbf\; v\}$方向的共变导数 $\backslash nabla$记为$\backslash nabla\_\{\backslash mathbf\; v\}\; \{\backslash mathbf\; u\}$ 对任意向量场 u, v, w 和标量函数f和g由下列性质定义:
$\backslash nabla\_\{\backslash mathbf\; v\}\; \{\backslash mathbf\; u\}$ 对于$\{\backslash mathbf\; v\}$ 代数式线性所以$\backslash nabla\_\{f\{\backslash mathbf\; v\}+g\{\backslash mathbf\; w\}\}\; \{\backslash mathbf\; u\}=f\backslash nabla\_\{\backslash mathbf\; v\}\; \{\backslash mathbf\; u\}+g\backslash nabla\_\{\backslash mathbf\; w\}\; \{\backslash mathbf\; u\}$
$\backslash nabla\_\{\backslash mathbf\; v\}\; \{\backslash mathbf\; u\}$ 对于$\{\backslash mathbf\; u\}$可加，所以$\backslash nabla\_\{\backslash mathbf\; v\}(\{\backslash mathbf\; u\}+\{\backslash mathbf\; w\})=\backslash nabla\_\{\backslash mathbf\; v\}\; \{\backslash mathbf\; u\}+\backslash nabla\_\{\backslash mathbf\; v\}\; \{\backslash mathbf\; w\}$
$\backslash nabla\_\{\backslash mathbf\; v\}\; \{\backslash mathbf\; u\}$ 遵守乘积法则, 也就是说 $\backslash nabla\_\{\backslash mathbf\; v\}\; f\{\backslash mathbf\; u\}=f\backslash nabla\_\{\backslash mathbf\; v\}\; \{\backslash mathbf\; u\}+\{\backslash mathbf\; u\}\backslash nabla\_\{\backslash mathbf\; v\}f$ 其中$\backslash nabla\_\{\backslash mathbf\; v\}f$定义在上面。
注意$\backslash nabla\_\{\backslash mathbf\; v\}\; \{\backslash mathbf\; u\}$在点p依赖于v在p点的值以及u在p的一个邻域的值，因为最有一个性质乘积法则的要求。这表示共变导数不是一个张量。
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余向量场
给定余向量场(或者说1-形式) $\backslash alpha$, 其共变导数 $\backslash nabla\_\{\backslash mathbf\; v\}\backslash alpha$ 可以用下边的对于所有向量场u都满足的恒等式来定义
$\backslash nabla\_\{\backslash mathbf\; v\}(\backslash alpha(\{\backslash mathbf\; u\}))=(\backslash nabla\_\{\backslash mathbf\; v\}\backslash alpha)(\{\backslash mathbf\; u\})+\backslash alpha(\backslash nabla\_\{\backslash mathbf\; v\}\{\backslash mathbf\; u\}).$
余向量场沿着一个向量场v的共变导数还是一个余向量场。
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张量场
一旦定义了向量和余向量场的共变导数，它就可以定义到任一张量场上，这要用如下的恒等式，其中$\backslash varphi$和$\backslash psi$是任意两个张量:
$\backslash nabla\_\{\backslash mathbf\; v\}(\backslash varphi\backslash otimes\backslash psi)=(\backslash nabla\_\{\backslash mathbf\; v\}\backslash varphi)\backslash otimes\backslash psi+\backslash varphi\backslash otimes(\backslash nabla\_\{\backslash mathbf\; v\}\backslash psi),$
并且，若$\backslash varphi$和$\backslash psi$是同一个张量丛的张量场，则
$\backslash nabla\_\{\backslash mathbf\; v\}(\backslash varphi+\backslash psi)=\backslash nabla\_\{\backslash mathbf\; v\}\backslash varphi+\backslash nabla\_\{\backslash mathbf\; v\}\backslash psi.$
沿着向量场v的共变导数也还是同类型的张量场。
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坐标表示
给定坐标函数$x^i,\backslash \; i=0,1,2,...$, 任何切向量都可以用它的在基$e\_i=\{\backslash partial\backslash over\backslash partial\; x^i\}$中的分量表示. 共变导数是一个向量，所以可以表示为基向量的线性组合Γkek, 其中Γk 是分量(参看爱因斯坦记号). 要给定共变导数，给定每个基向量场ej 沿着ei的共变导数就可以了
$\backslash nabla\_\{\{\backslash mathbf\; e\}\_i\}\; \{\backslash mathbf\; e\}\_j\; =\; \backslash Gamma^k\; \{\}\_\{i\; j\}\; \{\backslash mathbf\; e\}\_k,$
系数Γki j称为克里斯托费尔符号. 然后使用定义中的规则，我们发现对于一般的向量场 $\{\backslash mathbf\; v\}=\; v^ie\_i$ and $\{\backslash mathbf\; u\}=\; u^ie\_i$ 可以得到
$\backslash nabla\_\{\backslash mathbf\; v\}\; \{\backslash mathbf\; u\}\; =\; (v^i\; u^j\; \backslash Gamma^k\; \{\}\_\{i\; j\}+v^i\{\backslash partial\; u^k\backslash over\backslash partial\; x^i\})\{\backslash mathbf\; e\}\_k,$
这个公式的第一项代表了坐标系对于共变导数的"扭转"，而第二项代表了向量场u的分量的变化。特别的有
$\backslash nabla\_\{\{\backslash mathbf\; e\}\_j\}\; \{\backslash mathbf\; u\}=\backslash nabla\_j\; \{\backslash mathbf\; u\}\; =\; \backslash left(\; \backslash frac\{\backslash partial\; u^i\}\{\backslash partial\; x^j\}\; +\; u^k\; \backslash Gamma^i\; \{\}\_\{jk\}\; \backslash right)\; \{\backslash mathbf\; e\}\_i$
用语言描述的话: 共变导数是一般的沿着坐标的导数加上关于坐标改变的校正项。在物理教科书中，共变导数有时只用这个方程中的分量形式表述。
一个常用的记法是，用一个分号表示共变导数，而用一个逗号表示普通导数。在这个记号下，我们把同样的公式写作::
$\backslash nabla\_j\; \{\backslash mathbf\; v\}\; \backslash equiv\; v^i\; \{\}\_\{;j\}\; \backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\; v^i\; \{\}\_\{;j\}\; =\; v^i\; \{\}\_\{,j\}\; +\; v^k\backslash Gamma^i\; \{\}\_\{k\; j\}$
这再次表明了向量场的共变导数不仅仅是从沿着坐标的微分中得到 $v^i\; \{\}\_\{,j\}$, 而且是通过$v^k\backslash Gamma^i\; \{\}\_\{k\; j\}$依赖于向量v本身的。

中共第十六届中央委员会第七次全体会议公报

　　新华社北京10月12日电 中国共产党第十六届中央委员会第七次全体会议公报
　　(2007年10月12日中国共产党第十六届中央委员会第七次全体会议通过)
　　中国共产党第十六届中央委员会第七次全体会议，于2007年10月9日至12日在北京举行。
　　出席会议的有中央委员190人，候补中央委员152人。中央纪律检查委员会委员和有关负责同志列席会议。
　　会议由中央政治局主持。中央委员会总书记胡锦涛作了重要讲话。
　　会议决定，中国共产党第十七次全国代表大会于2007年10月15日在北京召开。
　　会议听取和讨论了胡锦涛受中央政治局委托作的工作报告。全会讨论并通过了党的十六届中央委员会向党的第十七次全国代表大会的报告，讨论并通过了《中国共产党章程(修正案)》，决定将这两份文件提请党的第十七次全国代表大会审议。胡锦涛就党的十六届中央委员会向党的第十七次全国代表大会的报告讨论稿向全会作了说明。吴邦国就《中国共产党章程(修正案)》讨论稿向全会作了说明。
　　全会充分肯定了党的十六届六中全会以来中央政治局的工作。一致认为，中央政治局坚持以邓小平理论和“三个代表”重要思想为指导，认真贯彻党的十六大和十六届三中、四中、五中、六中全会精神，深入贯彻落实科学发展观，团结带领全党全国各族人民围绕推动科学发展、促进社会和谐，加强和改善宏观调控，着力调整经济结构和转变发展方式，着力加强资源节约和环境保护，着力推进改革开放和自主创新，着力促进社会发展和解决民生问题，全面推进社会主义经济建设、政治建设、文化建设、社会建设，全面推进党的建设新的伟大工程，各项事业取得了新的显著成绩，朝着党的十六大确立的全面建设小康社会的目标迈出了坚实步伐，为召开党的第十七次全国代表大会创造了良好条件。
　　全会总结了党的十六大以来5年的工作。一致认为，这5年是不平凡的5年。面对复杂多变的国际环境和艰巨繁重的改革发展任务，以胡锦涛同志为总书记的党中央带领全党，紧紧依靠全国各族人民，坚持以邓小平理论和“三个代表”重要思想为指导，提出并贯彻科学发展观等重大战略思想，战胜各种困难和风险，推动党和国家工作取得新的重大成就。经济实力大幅提升，改革开放取得重大突破，人民生活显著改善，民主法制建设取得新进步，文化建设开创新局面，社会建设全面展开，国防和军队建设取得历史性成就，香港、澳门保持繁荣稳定，对台工作进一步加强，全方位外交取得重大进展，党的建设新的伟大工程扎实推进，开创了中国特色社会主义事业新局面。
　　全会按照党章规定，决定递补中央委员会候补委员朱祖良、杜学芳、杨传堂、邱衍汉为中央委员会委员。
　　全会审议并通过了《中共中央纪律检查委员会关于陈良宇问题的审查报告》、《中共中央纪律检查委员会关于杜世成问题的审查报告》，确认中央政治局2007年7月26日、4月23日分别作出的给予陈良宇、杜世成开除党籍的处分。
　　全会全面分析了当前的形势和任务，深入讨论了从新的历史起点出发继续推进中国特色社会主义伟大事业和党的建设新的伟大工程的若干重大问题，为召开党的第十七次全国代表大会作了充分准备。
　　来源：新华社